Olimpiada Matematyczna Juniorów - zawody II stopnia (okręgowe): arkusz ćwiczeniowy nr 1
Pięć własnych zadań w układzie zawodów II stopnia Olimpiady Matematycznej Juniorów: 180 minut, za każde zadanie 0, 2, 5 lub 6 punktów, razem 30. Dwa zadania z geometrii (trójkąt prostokątny i okrąg wpisany, zależność między kątami trójkąta), jedno z NWD i NWW, jedno o lampach w rzędzie i jedno z nierównością dla trzech liczb rzeczywistych. Każde wymaga pełnego uzasadnienia, jak na olimpiadzie. Na końcu pełne rozwiązania-dowody, czasem dwoma sposobami, i opis, za co dostaje się 2, 5 i 6 punktów.
- 5zadania
- 30punkty
- 180 minczas pracy
- 11strony PDF
Pobierz arkusz z rozwiązaniami
Wyślemy link do PDF na Twój e-mail. Na końcu pliku są odpowiedzi, pełne rozwiązania i zasady punktowania jak w kluczu organizatora.
Co sprawdza arkusz
- GO 3-4Geometria - okręgi, pkt 3-4: prosta styczna do okręgu, okręgi styczne, odcinki styczne poprowadzone z punktu; okrąg wpisany i opisany na wielokącie.
- LC 4Liczby całkowite, pkt 4: największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW), liczby względnie pierwsze.
- ZK 2-3Elementy teorii zbiorów, kombinatoryki, pkt 2-3: rozbicie zbioru i jego konsekwencje, reguła dodawania i mnożenia; zapis warunków zadania w języku zbiorów.
- GW 1Geometria - wielokąty, pkt 1: rodzaje trójkątów, twierdzenie Pitagorasa, nierówność trójkąta, suma kątów, środkowa, linia środkowa, środek przeciwprostokątnej.
- WA 5-7Wyrażenia algebraiczne, przekształcenia, równania i nierówności, pkt 5-7: rozkład na czynniki, wzory skróconego mnożenia, przekształcenia równoważne, nierówność jako nieujemna suma kwadratów.
Skąd te oznaczenia? Oznaczenia to nasze skróty działów „Programu merytorycznego Olimpiady Matematycznej Juniorów” na lata 2025/2026-2027/2028 (załącznik nr 1 do regulaminu, link poniżej): LC - „Liczby całkowite”, WA - „Wyrażenia algebraiczne, przekształcenia algebraiczne, równania i nierówności”, GW - „Geometria - wielokąty”, GO - „Geometria - okręgi”, ZK - „Elementy teorii zbiorów, kombinatoryki”. Liczba po skrócie to numer punktu, który organizator nadał w tym dziale: np. LC 4 to czwarty punkt działu „Liczby całkowite” - NWD i NWW liczb całkowitych, liczby względnie pierwsze.
Zakres wymagań organizatora ↗Jak powstał ten arkusz
Zadania są nasze, napisane od nowa. Skąd wzięliśmy format: Układ i ocena jak na zawodach II stopnia OMJ według regulaminu na lata 2025/26-2027/28: 5 zadań, 180 minut, za każde 0, 2, 5 lub 6 pkt. Typy zadań (dwa z geometrii, po jednym z teorii liczb, kombinatoryki i algebry; polecenia „wykaż” i „wyznacz wszystkie”) wzorowane na zestawach II stopnia XVIII-XXI OMJ (2023-2026) i rozwiązaniach organizatora. Wszystkie zadania napisane od nowa. Zakres: wymagania organizatora na 2026/27. To nie są oryginalne zadania konkursowe. Każde zadanie rozwiązał niezależnie drugi autor, a odpowiedzi sprawdziliśmy z kluczem.
Czego ten arkusz nie ćwiczy: zadań z geometrii przestrzennej, z pierwiastkami i liczbami niewymiernymi oraz z cyframi w zapisie dziesiętnym - program obejmuje je także na zawodach II stopnia, a pięć zadań nie pokryje całego programu.
Zakres wymagań organizatora ↗
