Olimpiada Matematyczna - jak się przygotować do zadań dowodowych

Olimpiada Matematyczna - o co grasz

Olimpiadę Matematyczną prowadzi Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej. To najstarsza polska olimpiada przedmiotowa, a stawka jest bardzo konkretna: laureat i finalista są zwolnieni z matury z matematyki i mają na świadectwie wynik 100% na poziomie rozszerzonym, bez pisania egzaminu. Do tego dochodzą ułatwienia w rekrutacji na studia według uchwał poszczególnych uczelni, a dla najlepszych - miejsce w reprezentacji Polski na Międzynarodowej Olimpiadzie Matematycznej.

Jeśli dopiero wchodzisz w temat, przeczytaj najpierw, czym jest olimpiada przedmiotowa, i sprawdź szczegóły uprawnień w poradniku olimpiada a matura. Terminy i materiały bieżącej edycji znajdziesz przy Olimpiadzie Matematycznej w bazie. Ten artykuł jest o czymś innym: czym matematyka olimpijska różni się od szkolnej i jak się jej uczyć.

Zadanie olimpijskie to dowód, nie rachunek

Największa różnica w stosunku do szkoły: w zadaniu olimpijskim rzadko masz coś policzyć. Masz wykazać, że coś zachodzi - dla każdej liczby naturalnej, każdego trójkąta, każdego ustawienia pionków. Sprawdzana jest droga, nie odpowiedź. Praktyczne konsekwencje są trzy:

• Sprawdzenie tezy na kilku przykładach niczego nie dowodzi. Przykłady budują intuicję, ale nie zamykają zadania.
• Każdy krok musi wynikać z poprzedniego. Zdanie „łatwo zauważyć” jest w porządku tylko wtedy, gdy potrafisz ten fragment uzasadnić na żądanie.
• Rozwiązanie „prawie skończone” bywa rozwiązaniem niepełnym - luka w argumentacji waży tu więcej niż na szkolnym sprawdzianie.

Cztery klasyczne działy - i jak je ćwiczyć

Matematyka olimpijska kręci się wokół czterech obszarów. W szkole każdy z nich pojawia się w formie okrojonej, więc każdy trzeba dobudować osobno.

• Teoria liczb - podzielność, reszty z dzielenia, kongruencje, liczby pierwsze. Naucz się patrzeć na resztę z dzielenia jak na osobne narzędzie.
• Geometria - kąty, podobieństwo, okrąg opisany i wpisany, potęga punktu, przekształcenia. Rysunek nie jest dowodem, ale zły rysunek gwarantuje zły pomysł, więc rysuj duże i dokładne.
• Nierówności i algebra - przekształcanie wyrażeń, nierówności między średnimi, wielomiany, równania funkcyjne. Tu opłaca się znać kilka klasycznych narzędzi i wiedzieć, kiedy je stosować.
• Kombinatoryka - zliczanie, zasada szufladkowa, indukcja, niezmienniki, kolorowania, gry. Najmniej „wzorowa” część olimpiady: liczy się pomysł, a nie formuła.

Nie mieszaj wszystkiego naraz. Weź jeden dział na dwa-trzy tygodnie, przerób w nim kilkanaście zadań o rosnącej trudności i dopiero potem przechodź dalej.

Jak zapisać rozwiązanie, żeby zostało uznane

Wielu startujących traci punkty nie na braku pomysłu, tylko na zapisie. Kilka nawyków, które to naprawiają:

1. Zacznij od oznaczeń: co jest czym, jakie są założenia, co dokładnie masz wykazać.
2. Wydziel lematy. Jeśli w środku dowodu potrzebujesz osobnego faktu, sformułuj go i udowodnij oddzielnie.
3. Pisz zdaniami, nie samymi wzorami - sprawdzający musi widzieć logikę przejść, a nie tylko ich efekt.
4. Uzasadniaj każde „bez straty ogólności”; to zdanie jest legalne tylko wtedy, gdy pokażesz symetrię, która na nie pozwala.
5. Wypisz jawnie wszystkie przypadki i pokaż, że pokrywają całość, a na końcu sprawdź, czy udowodniłeś dokładnie tę tezę, o którą prosiło zadanie.

Jak trenować przez rok

Trening olimpijski wygląda inaczej niż odrabianie lekcji. Zamiast dwudziestu podobnych przykładów bierzesz jedno trudne zadanie i siedzisz nad nim długo - godzina bez efektu to normalny element pracy, a nie porażka.

Rytm, który się sprawdza: wakacje i wrzesień na fundamenty (jeden dział w całości plus pierwsze zadania z poprzednich edycji), jesień na regularne sesje zadaniowe, zima na zadania okręgowe pisane już w pełnej formie, wiosna na zadania finałowe i powroty do tych, które cię wcześniej pokonały. Szerszy plan roku rozpisaliśmy w poradniku jak przygotować się do olimpiady.

Pomaga też czytanie cudzych rozwiązań. Kiedy odpuszczasz zadanie i sięgasz po rozwiązanie wzorcowe, wypisz, na czym polegał kluczowy pomysł i po czym można było się go domyślić.

Etapy: zawody I stopnia, II stopnia i finał

Olimpiada ma trzy etapy rozłożone na cały rok szkolny - szkolny jesienią, okręgowy zwykle w styczniu lub lutym i finał zwykle w marcu lub kwietniu. W Olimpiadzie Matematycznej zawody I stopnia mają dwie części: test przeprowadzany w szkołach, które zarejestrowały swój udział, oraz jednodniowe zawody z zadaniami otwartymi w miejscu wskazanym przez Komitet Okręgowy. Rozwiązań nie wysyła się już pocztą.

Stąd warunek formalny, o który łatwo się potknąć: sprawdź, czy twoja szkoła zarejestrowała udział w zawodach I stopnia - bez tego nie napiszesz części testowej. Zawodnik rejestruje się samodzielnie w systemie organizatora, a udział jest bezpłatny. Startować mogą też zdolni uczniowie szkoły podstawowej. Formuła etapów bywa aktualizowana, więc przed startem potwierdź szczegóły w regulaminie bieżącej edycji, a terminy sprawdź w kalendarzu.

Olimpiada Matematyczna Juniorów - ścieżka dla szkoły podstawowej

Uczniowie klas IV-VIII mają własne zawody: Olimpiadę Matematyczną Juniorów, prowadzoną przez to samo stowarzyszenie. Laureat i finalista są zwolnieni z egzaminu ósmoklasisty z matematyki z wynikiem 100% i są przyjmowani do wybranej szkoły średniej w pierwszej kolejności, a najlepsi jadą na międzynarodowe zawody Czechy-Polska-Słowacja.

Etap pierwszy składa się z testu i części zadaniowej, a rejestracja idzie przez szkołę. Charakter zadań jest już olimpijski: liczy się uzasadnienie, nie sam wynik, więc trening opisany wyżej działa tak samo, tylko na łatwiejszym materiale. Więcej w poradnikach o olimpiadach dla uczniów szkoły podstawowej i o zwolnieniu z egzaminu ósmoklasisty.

Pokrewne zawody: Olimpiada Lingwistyki Matematycznej

Jeśli lubisz łamigłówki bardziej niż wzory, sprawdź Olimpiadę Lingwistyki Matematycznej, organizowaną przez Fundację Matematyków Wrocławskich. Zadania polegają na rozszyfrowywaniu reguł nieznanych języków wyłącznie logiką, bez ich wcześniejszej znajomości - to czysta analiza wzorców. Zgłoszenie idzie przez szkołę, a etap szkolny piszesz u siebie.

Uwaga: to olimpiada tematyczna, więc nie zwalnia z matury. Daje ułatwienia w rekrutacji na studia według uchwał uczelni, a najlepszym - miejsce w reprezentacji Polski na Międzynarodowej Olimpiadzie Lingwistycznej.

Częste błędy - i pierwszy krok

• Liczenie zamiast dowodzenia - sprawdzenie tezy dla kilku pierwszych liczb nie jest rozwiązaniem, dopóki nie ma argumentu ogólnego.
• Za szybkie zaglądanie do rozwiązań - jeśli po pięciu minutach sięgasz po odpowiedź, nie trenujesz tego, co jest oceniane na zawodach.
• Trening wyłącznie na maturze rozszerzonej - matura pomaga w rachunkach, ale nie uczy dowodzenia.
• Zapis w głowie, nie na papierze - dopóki nie napiszesz pełnego rozwiązania, nie wiesz, czy w rozumowaniu nie ma dziury.

Zacznij dziś od jednego zadania z poprzednich edycji: rozwiąż je bez limitu czasu i zapisz w pełnej formie, tak jakby miało iść do oceny. Pozycję Olimpiady Matematycznej dodaj gwiazdką do ulubionych, terminy etapów sprawdzaj w kalendarzu, a inne zawody z matematyki przejrzyj w bazie olimpiad.